Guia prático de progressão aritmética
30 exercícios de pa resolvidos
Se você está tentando organizar um material de estudo ou revisar o conteúdo sozinho, os exercícios são o caminho mais direto. Vou colocar aqui uma coleção prática, com resolução passo a passo, para cobrir os principais tópicos que caem em provas e vestibulares. O formato é direto: enunciado, resolução e resultado final. Primeiro, um esclarecimento rápido sobre a notação. O termo geral de uma PA é dado por an = a1 + (n-1)r, onde a1 é o primeiro termo e r é a razão. A soma dos n primeiros termos usa Sn = n(a1 + an)/2 ou ainda Sn = n(2a1 + (n-1)r)/2. Essas duas fórmulas resolvem a maioria das questões. O problema é que estudantes tendem a decorar sem entender quando usar cada uma, e isso gera erro na hora da prova.
Um detalhe que poucos mencionam: a razão não precisa ser inteira. Razões fracionárias e decimais aparecem com frequência, e muita gente trava porque não faz a conta com decimais com segurança. Eu vi aluno esquecer de converter 0,5 para 1/2 e errar toda uma questão simples. O conselho prático é sempre trabalhar com frações quando a razão não é um número redondo.
Exercícios de PA resolvidos
Exercício 1 Descubra o décimo termo de uma PA onde a1 = 3 e r = 4.
Resolução: a10 = 3 + (10-1) × 4 = 3 + 36 = 39. Exercício 2
Qual é o oitavo termo da PA (2, 6, 10, ...)? Resolução: r = 4. a8 = 2 + (8-1) × 4 = 2 + 28 = 30.
Exercício 3 Calcule a soma dos vinte primeiros termos da PA (5, 9, 13, ...).
Resolução: a1 = 5, r = 4. a20 = 5 + 19 × 4 = 81. S20 = 20 × (5 + 81) / 2 = 860. Exercício 4
Se o terceiro termo de uma PA é 17 e o sexto termo é 32, qual é a razão? Resolução: a6 = a3 + 3r. 32 = 17 + 3r. 3r = 15. r = 5.
Exercício 5 Encontre o primeiro termo de uma PA onde a5 = 28 e r = 6.
Resolução: a5 = a1 + 4r. 28 = a1 + 24. a1 = 4. Exercício 6
Quantos termos tem a PA (7, 12, 17, ..., 107)? Resolução: r = 5. 107 = 7 + (n-1) × 5. 100 = (n-1) × 5. n-1 = 20. n = 21 termos.
Exercício 7 Calcule a soma dos termos da PA (1, 3, 5, ..., 39).
Resolução: r = 2. 39 = 1 + (n-1) × 2. n = 20. S20 = 20 × (1 + 39) / 2 = 400. Exercício 8
Uma PA tem a1 = 100 e r = -3. Qual é o décimo quinto termo? Resolução: a15 = 100 + (15-1) × (-3) = 100 - 42 = 58.
Exercício 9 Interpole cinco meios aritméticos entre 4 e 34.
Resolução: a1 = 4, a7 = 34. 34 = 4 + 6r. r = 5. A PA é (4, 9, 14, 19, 24, 29, 34). Exercício 10
Qual é a soma dos cem primeiros números naturais? Resolução: PA (1, 2, 3, ..., 100). S100 = 100 × (1 + 100) / 2 = 5050.
Exercício 11 Se a soma dos dez primeiros termos de uma PA é 185 e o primeiro termo é 8, qual é a razão?
Resolução: S10 = 10(2 × 8 + 9r)/2 = 185. 16 + 9r = 37. 9r = 21. r = 7/3. Exercício 12
Em uma PA, a3 = 14 e a7 = 30. Determine a1 e r. Resolução: a7 = a3 + 4r. 30 = 14 + 4r. r = 4. a1 = a3 - 2r = 14 - 8 = 6.
Exercício 13 Calcule a soma dos vinte primeiros termos pares a partir de 2.
Resolução: PA (2, 4, 6, ..., 40). S20 = 20 × (2 + 40) / 2 = 420. Exercício 14
Quantos múltiplos de 7 existem entre 50 e 300? Resolução: O primeiro múltiplo de 7 maior que 50 é 56. O último menor que 300 é 294. 294 = 56 + (n-1) × 7. n = 35 termos.
Exercício 15 Uma PA tem razão 2,5 e sétimo termo igual a 20. Qual é o primeiro termo?
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Resolução: a7 = a1 + 6 × 2,5 = 20. a1 + 15 = 20. a1 = 5. Exercício 16
Calcule x na PA (x-2, 2x+1, 5x-4, ...). Resolução: Em PA, a diferença entre termos consecutivos é constante. (2x+1) - (x-2) = (5x-4) - (2x+1). x + 3 = 3x - 5. 8 = 2x. x = 4. A PA fica (2, 9, 16).
Exercício 17 Qual é a soma dos números ímpares de 1 a 99?
Resolução: PA (1, 3, 5, ..., 99). 99 = 1 + (n-1) × 2. n = 50. S50 = 50 × (1 + 99) / 2 = 2500. Exercício 18
Se a1 = 7, r = 3 e an = 52, qual é o valor de n? Resolução: 52 = 7 + (n-1) × 3. 45 = (n-1) × 3. n-1 = 15. n = 16.
Exercício 19 Interpole quatro meios aritméticos entre 10 e 50.
Resolução: a1 = 10, a6 = 50. 50 = 10 + 5r. r = 8. A PA é (10, 18, 26, 34, 42, 50). Exercício 20
Calcule a soma dos trinta primeiros termos da PA (-5, -1, 3, ...). Resolução: r = 4. a30 = -5 + 29 × 4 = 111. S30 = 30 × (-5 + 111) / 2 = 1590.
Exercício 21 Um atleta corre 2 km no primeiro dia e aumenta 0,5 km diários. Quanto correrá no décimo dia?
Resolução: PA (2, 2,5, 3, ...). a10 = 2 + 9 × 0,5 = 6,5 km. Exercício 22
Em uma PA, a soma do segundo com o quinto termo é 22 e o sétimo termo é 19. Encontre a PA. Resolução: a2 + a5 = 22 e a7 = 19. (a1+r) + (a1+4r) = 22 2a1 + 5r = 22. a1 + 6r = 19. Substituindo: a1 = 19 - 6r. 2(19-6r) + 5r = 22. 38 - 12r + 5r = 22. r = 24/7. a1 = 19 - 144/7 = -11/7. A PA é (-11/7, 24/7, 7, ...).
Exercício 23 Calcule a soma dos quarenta primeiros termos de uma PA onde a1 = 12 e a40 = 89.
Resolução: S40 = 40 × (12 + 89) / 2 = 2020. Exercício 24
Qual é o nono termo da PA (1/3, 1, 5/3, ...)? Resolução: r = 2/3. a9 = 1/3 + 8 × 2/3 = 1/3 + 16/3 = 17/3.
Exercício 25 Uma PA crescente tem a1 = 3 e r = 7. Qual é a posição do termo 108?
Resolução: 108 = 3 + (n-1) × 7. 105 = (n-1) × 7. n-1 = 15. n = 16. Exercício 26
Calcule a soma dos números naturais de 1 a 200 que não são múltiplos de 5. Resolução: Soma total de 1 a 200: 200 × 201 / 2 = 20100. Soma dos múltiplos de 5: PA (5, 10, ..., 200). n = 40. S = 40 × (5 + 200) / 2 = 4100. Resultado: 20100 - 4100 = 16000.
Exercício 27 Se a5 = 23 e a9 = 43 de uma PA, calcule a1 e r.
Resolução: a9 = a5 + 4r. 43 = 23 + 4r. r = 5. a1 = a5 - 4r = 23 - 20 = 3. Exercício 28
Um terreno retangular tem 30 metros de comprimento e 20 metros de largura. Pretende-se construir cerca em fileira com postes a cada 2 metros ao longo do perímetro. Quantos postes serão necessários? Resolução: Perímetro = 2 × (30 + 20) = 100 metros. Em uma figura fechada, a quantidade de postes é o perímetro dividido pelo espaçamento. 100 / 2 = 50 postes.
Exercício 29 Calcule a soma dos 15 primeiros termos da PA onde a3 = 11 e a8 = 26.
Resolução: a8 = a3 + 5r. 26 = 11 + 5r. r = 3. a1 = 11 - 2 × 3 = 5. a15 = 5 + 14 × 3 = 47. S15 = 15 × (5 + 47) / 2 = 390. Exercício 30
Uma PA tem razão negativa. O primeiro termo é 50 e o décimo termo é -10. Calcule a soma dos 10 primeiros termos. Resolução: a10 = a1 + 9r. -10 = 50 + 9r. r = -60/9 = -20/3. S10 = 10 × (50 + (-10)) / 2 = 200.
Problema real que encontrei na prática
Numa série de exercícios que montei para revisão, houve uma questão onde o enunciado dizia que a soma dos termos de posições ímpares de uma PA era 78 e a dos termos de posições pares era 91, com um número par de termos no total. A abordagem padrão é separar as duas PAs formadas. A PA dos ímpares tem razão 2r e a dos pares também. O problema é que, se você não verificar se o número de termos é realmente par, o cálculo fica inconsistente. Usei a equação Sn_ímpares = (n/2)(2a1 + (n/2-1)×2r) = 78 e Sn_pares = (n/2)(2(a1+r) + (n/2-1)×2r) = 91. A diferença entre as somas é exatamente n/2 × r = 13. Como n/2 é inteiro, testei valores e cheguei a n = 12 e r = 2, com a1 = 5. Funcionou, mas só depois de ajustar o sistema duas vezes. A lição prática é: sempre verifique se a resposta satisfaz ambas as condições antes de considerar o exercício resolvido.
Limitações que precisam ser ditas
A progressão aritmética é um modelo linear. Ela funciona bem para situações de crescimento constante, mas falha completamente quando a variação acelera. Se o problema envolve juros compostos, crescimento populacional ou qualquer fenômeno com taxa variável, a PA não se aplica. Nesse caso, o modelo geométrico ou exponencial é o adequado. Também é comum ver estudante confundindo PA com PG por pressa na hora da prova. A diferença fundamental é que na PA a razão é uma soma, enquanto na PG é uma multiplicação. Reconhecer isso evita erros desnecessários. Este material cobre os tópicos mais frequentes. Recomendo revisar os exercícios 11, 22 e 26, que exigem um pouco mais de manipulação algébrica. Se quiser expandir, procure por exercícios que envolvem interpolação e soma de termos específicos, que aparecem com frequência em seletivas.
