Como calcular fração geratriz de factos periódicos simples e complexos
O assunto de fração geratriz aparece no 8º ano porque é um dos primeiros contactos formais dos alunos com números racionais e dízimas. A ideia básica é simples: dado um número decimal periódico, encontrar a fração que o gera. O problema é que a maioria dos manuais ensina apenas o caso simples e os alunos acabam atolados quando se deparam com factos mais complicados. Já vi alunos perderem 20 minutos num exercício que deveria levar cinco.
fração geratriz exercícios 8 ano
Vamos começar pelo método, que é o que realmente interessa. Para uma dízima periódica simples, como 0,3333..., o processo é o seguinte. Supõe que x = 0,3333... Multiplicamos por 10 elevado ao número de algarismos do período. Neste caso, o período tem um algarismo, então multiplicamos por 10. Temos 10x = 3,333... Agora subtraímos a equação original: 10x - x = 3,333... - 0,333..., o que dá 9x = 3 e logo x = 3/9 = 1/3. Pronto. O denominador fica sempre com tantos noves quantos forem os algarismos do período. Para uma dízima periódica composta, como 0,1666..., o método é ligeiramente diferente. Aqui o período não começa logo após a vírgula. Temos um número que não se repete (o algarismo 1) seguido do período (o 6). O truque é multiplicar por potências de 10 que eliminem a parte não periódica e depois fazer a subtracção. x = 0,1666... Multiplicamos por 10 para colocar o período logo após a vírgula: 10x = 1,666... Agora multiplicamos novamente por 10 porque o período tem um algarismo: 100x = 16,666... Subtraímos: 100x - 10x = 16,666... - 1,666..., resultando em 90x = 15, donde x = 15/90 = 1/6. O denominador fica com tantos noves quantos algarismos no período e tantos zeros quantos algarismos na parte não periódica. Neste caso, 90 = 9 (um nove para o período) seguido de 0 (um zero para a parte não periódica).
O que os exercícios do 8º ano geralmente ignoram é o facto de muitos alunos confundirem qual algarismo é do período. Um erro comum é considerar 0,121212... como tendo período 12 em vez de tratar isso corretamente. A dízima 0,121212... é periódica simples com período 12. O cálculo dá 100x = 12,1212... menos x = 0,1212... O resultado é 99x = 12, logo x = 12/99 = 4/33. Os alunos costumam errar aqui ao tentar aplicar a regra da dízima composta porque não identificam correctamente onde começa o período. Tenho um exemplo prático que me aconteceu recentemente e que ilustra bem o problema. Um aluno estava a resolver 0,727272... e pensava que o período era apenas o 2, ignorando o 7. Eu disse-lhe para ler o número em voz alta: "setenta e dois, setenta e dois, setenta e dois". Quando percebeu que o bloco que se repete era 72, o exercício ficou resolvido em dois minutos em vez de vinte. A dica prática é sempre localizar o primeiro ponto em que a sequência começa a repetir-se antes de aplicar qualquer fórmula.
Exercícios resolvidos passo a passo
Vamos a exercícios típicos do 8º ano com as respetivas resoluções. O primeiro: converter 2,353535... em fração. O período é 35, tem dois algarismos e não há parte não periódica. Multiplicamos por 100: 100x = 235,3535... Subtraímos x = 2,3535... Obtemos 99x = 233, logo x = 233/99. Esta fração já está irredutível porque 233 é primo. Segundo exercício: converter 0,454545... em fração. Período 45, dois algarismos. 100x = 45,4545... Menos x = 0,4545... Dá 99x = 45. Simplificando: x = 45/99 = 5/11. O erro mais frequente aqui é esquecer simplificar. A resposta 45/99 está certa mas incompleta. Em testes, a fração irredutível é sempre exigida.
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Terceiro exercício, um pouco mais trabalhoso: converter 1,2343434... em fração. Aqui temos parte não periódica (o 2) e período 34 (dois algarismos). Devemos multiplicar por 10 para mover a parte não periódica: 10x = 12,3434... Depois multiplicar por 100 porque o período tem dois algarismos: 1000x = 1234,3434... Subtraindo: 1000x - 10x = 1234,34... - 12,34... Ou seja, 990x = 1222. Simplificando: x = 1222/990 = 611/495. Este tipo de exercício é onde mais erros acontecem porque os alunos se perdem nas potências de 10. Outro exercício clássico: 0,888... que muitos alunos resolvem imediatamente como 8/9. Está correto mas o processo importa. x = 0,888... 10x = 8,888... 9x = 8 x = 8/9. Simples. A confusão surge quando o aluno vê 0,888... e pensa que é o mesmo que 0,8, que seria 4/5. São números completamente diferentes. O primeiro é periódico, o segundo é exato.
Pegadinhas e casos extremos
Existem situações que aparecem nos exercícios e que normalmente não são abordadas nos manuais. Uma delas é quando a dízima tem parte inteira. Por exemplo, converter 3,141414... em fração. Tratamos apenas da parte decimal: 0,141414... = 14/99. Depois somamos a parte inteira: 3 + 14/99 = 313/99. Os alunos muitas vezes tentam fazer contas complicadas quando bastaria separar parte inteira de parte decimal. Outra pegadinha comum: dízimas como 0,999... que muitos alunos duvidam que seja igual a 1. O cálculo mostra que x = 0,999... 10x = 9,999... 9x = 9 x = 1. Mathematicalmente, 0,999... é exatamente igual a 1. Não é uma aproximação. É igual. Este conceito perturba muitos alunos e professores, mas é um facto consolidado.
Um problema mais Avançado que aparece em alguns exercícios: converter dízimas com múltiplos períodos sobrepostos. Por exemplo, 0,123123123... O período é 123, com três algarismos. 1000x = 123,123... Menos x = 0,123... 999x = 123 x = 123/999 = 41/333. A chave é contar corretamente os algarismos do período e usar a potência de 10 correspondente. O que costuma falhar nestes exercícios é a simplificação final. Muitos alunos param na fração 45/99 e esquecem que devem dividir pelo máximo divisor comum. O MDC de 45 e 99 é 9, então 45/99 = 5/11. Em exames, respondessem 45/99 em vez de 5/11, perdem pontos. Sempre simplificar.
Recurso para praticar
Para treino adicional, recomendo o site doprojectomath.pt que tem exercícios classificados por dificuldade. Também o min-Educação disponibiliza fichas de trabalho gratuitas na página da Direção Geral da Educação. Procurem por "fração geratriz 8º ano" e encontrarão material adequado ao nível. O importante é praticar pelo menos dez exercícios de cada tipo: periódico simples, periódico composto e dízimas com parte inteira. Se precisarem de mais ajuda com algum exercício específico, deixem nos comentários que tento ajudar.
