Permutação Com Repetição Exercicios

Permutação com repetição: como calcular de verdade

A maioria dos livros ensina isso como se fosse só decoreba. Coloca o fatoriais um em cima do outro e pronto. Na prática, as pessoas erram nos detalhes menores, como repetir elementos que não são exatamente iguais ou confundir comarranjo. O assunto é simples, mas os exercícios que aparecem em provas e concursos costumam ter pegadinhas que exigem atenção. Definição básica

Permutação com repetição é o número de modos diferentes de organizar os elementos de um conjunto onde alguns deles se repetem. A fórmula é P = n! / (n1! × n2! × ... × nk!), onde n é o total de elementos e n1, n2 etc. são as quantidades de cada elemento repetido.

Como resolver permutação com repetição exercicios

O primeiro passo que eu sempre recomendo é listar tudo que você tem. Não pule essa parte. Eu já vi gente colocar o total de letras numa palavra e esquecer que algumas são iguais, aí a conta sai errada e ninguém percebe. Vou usar um exemplo direto. Quantos anagramas existem da palavra CARACOL?

Primeiro conto as letras. C, A, R, A, C, O, L. São 7 letras no total. Agora identifico as repetições:

• C aparece 2 vezes
• A aparece 2 vezes
• R aparece 1 vez
• O aparece 1 vez
• L aparece 1 vez

Aplico a fórmula: P = 7! / (2! × 2! × 1! × 1! × 1!) = 5040 / 4 = 1260. Simples. Mas o problema é que os exercícios raramente são tão diretos assim.

Pegadinha comum: elementos que parecem diferentes mas não são

Um erro frequente é tratar números repetidos como se fossem distintos. Se o exercício fala sobre números formados com os algarismos 1, 2, 2, 3, 3, 3, você não pode simplesmente fazer 6!. Tem que dividir pelos fatoriais das repetições. Nesse caso seria 6! / (2! × 3!) = 60 números diferentes. Já me deparei com um caso em que o enunciado dizia "quantos números de 5 dígitos podemos formar com 1, 1, 2, 3, 3?". Muita gente fazia P = 5! e chegava a 120. O correto é 5! / (2! × 2!) = 30. A diferença é enorme e o aluno perde pontos sem perceber o erro.

Outro ponto importante: quando a ordem realmente importa

Às vez as pessoas confundem permutação com combinação. Na combinação a ordem não importa. Na permutação com repetição a ordem importa porque você está contando arranjos diferentes. Se você monta a palavra "CASA" versus "ASCA", são dois resultados diferentes. Isso é permutação. Se o exercício pede quantos grupos de 3 letras podemos tirar de "BANANA" sem importar a ordem, isso já é combinação, não permutação. O cuidado aqui é ler o enunciado com atenção. A palavra-chave muitas vezes está em "de quantas formas podemos ordenar" ou "quantos anagramas existem".

Um caso mais complexo que encontrei na prática

Num exercício de concurso, eu vi algo assim: "De quantas formas podemos organizar as letras da palavra ELETRONICA de modo que as vogais fiquem sempre juntas?" Isso exige uma abordagem em duas etapas:

1. Tratamos o bloco de vogais como uma unidade só. As vogais são E, E, O, I, A. São 5 vogais com E repetido 2 vezes.
2. O total de unidades passa a ser: {EEOIA}(bloco) + L + T + R + N + C = 6 elementos, todos distintos.
3. Permutação dos 6 elementos: 6! = 720.
4. Agora precisamos permutar as vogais dentro do bloco: 5! / 2! = 60.
5. Resultado final: 720 × 60 = 43200.

Esse tipo de questão é onde a maioria dos estudantes travca. A solução é sempre separar em etapas: primeiro a permutação das unidades principais, depois a permutação interna do bloco restringido.

Exercícios para praticar

Aqui vão alguns problemas para testar o entendimento: Exercício 1: Quantos anagramas tem a palavra GABARITO?

Gabriel: G-A-B-A-R-I-T-O. 8 letras, A repetido 2 vezes. P = 8! / 2! = 20160. Exercício 2: Quantos números de 6 dígitos podemos formar com os algarismos 1, 1, 2, 2, 3, 4?

Total 6, com 1 repetido 2 vezes e 2 repetido 2 vezes. P = 6! / (2! × 2!) = 720 / 4 = 180. Exercício 3: Quantas palavras de 5 letras podemos formar usando as letras de MAMAE?

M-A-M-A-E. 5 letras, M repetido 2 vezes, A repetido 2 vezes. P = 5! / (2! × 2!) = 120 / 4 = 30. Exercício 4: De quantas formas podemos distribuir 3 balas de morango, 2 de limão e 1 de laranja entre 6 crianças, considerando que balas do mesmo sabor são indistinguíveis?

Aqui é permutação com repetição também. São 6 elementos no total, com repetições de 3 e 2. P = 6! / (3! × 2! × 1!) = 720 / 12 = 60 formas.

Quando a fórmula não resolve

Tem situações em que a permutação com repetição pura não basta. Por exemplo, se o exercício pede para contar apenas os arranjos que começam com uma vogal, ou que não podem ter duas letras iguais juntas. Aí a fórmula direta não serve mais. Você precisa decompor o problema em casos ou usar o princípio da inclusão-exclusão. No meu caso, me deparei com um exercício que pedia: "Quantos anagramas de ARARA têm as vogais separadas?" A abordagem direta por permutação com repetição não funciona aqui porque temos uma restrição de posição. Eu resolvi assim:

Primeiro calculei o total de anagramas: 5! / (3! × 2!) = 10. Depois calculei quantos têm vogais juntas e subtraí. Para vogais juntas, trato EEO como bloco. As unidades passam a ser {EEO}+R+A = 3 elementos distintos (mas o bloco interno tem repetição). Anagramas do bloco: 3! / 2! = 3. Anagramas totais com vogais juntas: 3 × 3 = 9. Anagramas com vogais separadas: 10 - 9 = 1. A resposta é 1, que corresponde ao anagrama RARAE. Parece pouco, mas é o único que satisfaz a condição. Esse tipo de problema exige pensar antes de aplicar a fórmula. A permutação com repetição é só uma ferramenta, não a resposta pra tudo.

Erros que eu vejo todo dia

O erro mais comum é calcular o fatorial do total sem dividir pelas repetições. Tipo: palavra "BOLO", 4 letras, gente faz 4! = 24. O correto é 4! / 2! = 12 porque o O se repete duas vezes. O outro erro frequente é somar as repetições ao invés de multiplicar os fatoriais no denominador. Se você tem 2 A's e 3 B's, o denominador é 2! × 3!, não (2+3)! = 120. Esse erro transforma 7! / 120 = 5040 / 120 = 42 em algo completamente errado.

Um terceiro erro é confundir permutação com repetição com arranjo com repetição. No arranjo com repetição você escolhe k elementos de um conjunto de n com reposição, e a fórmula é n^k. Em permutação com repetição você organiza TODOS os elementos de um conjunto onde alguns se repetem. São conceitos diferentes.

Resumo prático para não errar

Antes de qualquer conta, anote: total de elementos, quais se repetem e quantas vezes cada um aparece. Depois aplique a fórmula dividindo n! pelos fatoriais das repetições. Se houver restrições de posição ou agrupamento, decomponha o problema em etapas e aplique a regra da multiplicação. Permutação com repetição exercicios são mais fáceis do que parecem quando você segue esse processo passo a passo. O segredo não é decorar a fórmula, é entender o que cada parte dela representa. O numerador conta todas as ordenações possíveis se tudo fosse distinto. O denominador corrige essa contagem subtraindo as repetições que geram arranjos idênticos.

Se quiser mais prática, procure listas de exercícios de concursos anteriores. A banca CESPE costuma cobrar esse tema com frequência, e os erros mais comuns aparecem justamente nos casos que envolvem restrições de posição.