Princípio Multiplicativo Da Contagem 8 Ano Exercícios Com Gabarito

Como aplicar o princípio multiplicativo na prática

O princípio multiplicativo é basicamente isso: se você tem uma escolha que pode ser feita de M maneiras e, para cada uma dessas escolhas, uma segunda escolha que pode ser feita de N maneiras, o total de combinações possíveis é M vezes N. Parece óbvio quando você lê, mas a confusão nasce na hora de montar o problema. A maioria dos alunos travam porque não conseguem separar as etapas ou acabar somando quando deveria multiplicar. Já vi muitos exercícios mal elaborados que geram essa dúvida. Um caso comum que encontrei recentemente foi um problema que pedia quantos números de três algarismos distintos podíamos formar com o conjunto {0, 1, 2, 3, 4}. A pegadinha aqui é que o zero não pode ficar na primeira posição, senão o número deixa de ter três algarismos. Muitos colocam 5 opções para todas as casas e chegam num resultado errado. O workaround que eu sempre uso é desenhar os espaços das casas primeiro e colocar as restrições em cada um deles. Casa dos centenas: 4 opções (qualquer um exceto o zero). Casa das dezenas: 4 opções (o que sobrou do total, incluindo o zero agora liberado). Casa das unidades: 3 opções. Resultado final: 4 x 4 x 3 = 48. Se fosse apenas 5 x 4 x 3, daria 60, e esses 12 casos extras seriam os que começam com zero, que não valem.

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Achei que o assunto era só isso, mas tem uma nuance que quase todo mundo ignora. O princípio multiplicativo só funciona quando as escolhas são independentes no sentido de que o número de opções de cada etapa não depende do resultado específico das etapas anteriores, apenas do fato de que elas já foram feitas. Se o número de opções varia dependendo do que você escolheu antes, aí você precisa fazer uma análise caso a caso, não basta aplicar a fórmula cegamente. Isso separa quem decorou de quem entende. Outro ponto que gera erro constante é confundir princípio multiplicativo com princípio aditivo. O aditivo se usa quando você tem opções mutuamente exclusivas: você faz A ou B, nunca ambos. O multiplicativo é quando você faz A e B, uma coisa depois da outra. Um exercício típico de prova de oitavo ano diz: "De quantas formas posso ir de casa à escola passando pelo mercado, sabendo que há 3 ruas de casa ao mercado e 4 ruas do mercado à escola?" Aí é multiplicativo. Mas se a questão fosse "há 3 ônibus ou 4 carros para ir à escola", aí é aditivo: 3 + 4 = 7. Misturar os dois é o erro mais frequente que eu vejo corrigir.

Aqui vão alguns exercícios nos moldes do que aparece em listas de oitavo ano, com resolução passo a passo. Exercício 1: Uma sorveteria oferece 4 sabores de casquinha e 6 sabores de sorvete. De quantas formas um cliente pode montar um sorvete de uma casquinha com um sabor?

Resolução: 4 x 6 = 24 formas possíveis. Exercício 2: Quantos números pares de dois algarismos podemos formar usando apenas os algarismos {1, 2, 3, 4, 5}?

Resolução: Para ser par, o último algarismo precisa ser 2 ou 4 (2 opções). O primeiro algarismo pode ser qualquer um dos 5. Como podem se repetir, temos 5 x 2 = 10 números. Exercício 3: Em um concurso há 3 questões de múltipla escolha, cada uma com 5 alternativas e apenas uma correta. De quantas formas um candidato pode responder às três questões?

Resolução: 5 x 5 x 5 = 125 formas de responder. Exercício 4: Uma placa de carro no novo padrão tem 3 letras followed por 4 dígitos. Considerando o alfabeto de 26 letras e dígitos de 0 a 9, quantas placas podem ser formadas?

Resolução: 26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = 175.760.000 placas. Exercício 5: De quantas formas podemos formar uma comissão de 2 pessoas escolhendo-se entre 4 homens e 3 mulheres, sendo que a comissão deve ter exatamente 1 homem e 1 mulher?

Resolução: 4 x 3 = 12 formas. Aqui cada escolha de homem tem 3 opções de mulher, então multiplica-se. Se você quer exercícios com gabarito para prática extra, a maioria dos sites de materiais didáticos do ensino fundamental disponibilizam PDFs gratuitos. Procure por listas que especificem o princípio multiplicativo da contagem 8 ano exercícios com gabarito e verifique se as respostas aparecem no final do documento, não embutidas no meio. Isso economiza tempo e evita a tentação de olhar a resposta antes de terminar.

Uma limitação importante que precisa ficar clara: o princípio multiplicativo não resolve tudo. Quando há restrições de dependência entre as escolhas, como no exemplo do zero que citei no início, ou quando a quantidade de opções de uma etapa varia conforme o resultado anterior, a simples multiplicação não funciona. Nesses casos, você precisa Either decompor o problema em subcasos e somar os resultados (usando o princípio aditivo entre os subcasos), Either construir uma árvore de decisão visual, Either recorrer à análise combinatória avançada se o problema crescer. Saber até onde o princípio multiplicativo alcança é tão importante quanto saber aplicá-lo. No dia a dia, o método economiza bastante tempo na correção de exercícios. Antes de dominar a técnica de separar etapas e verificar independência, eu levava cerca de 10 minutos para resolver um exercício desses. Depois de pegar o jeito, o processo cai para uns 2 minutos. A diferença não é mágica, é só não pular a etapa de desenhar as Casas e listar as opções disponíveis em cada uma delas.