Calculando as diagonais de um icoságono
A fórmula geral para qualquer polígono convexo com n lados é n(n-3)/2. Para um icoságono, n é 20. A conta fica 20 vezes 17 dividido por 2, o que dá 170 diagonais. Funciona assim: de cada um dos 20 vértices, você consegue traçar linhas para todos os outros vértices menos para si mesmo e menos para os dois vizinhos mais próximos (que formariam os lados do polígono, não diagonais). Isso dá 17 diagonais por vértice. Multiplicado por 20, temos 340. Mas como cada diagonal conecta dois vértices, ela foi contada duas vezes, então divide por 2.
quantas diagonais tem um icoságono
O resultado é 170 diagonais. Nada mais, nada menos. No dia a dia, quando preciso explicar isso para alguém que está aprendendo geometria, costumo sugerir desenhar um polígono pequeno primeiro, tipo um pentágono (n=5), pra ver a fórmula funcionar na prática: 5 vezes 2 dividido por 2 = 5 diagonais. Você pode contar no papel mesmo. Confirma.
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Já para um icoságono, desenhar todas as 170 diagonais num papel é impraticável. O traçado fica ilegível rapidamente. Na prática, prefiro usar uma folha de cálculo ou um script pequeno. Escrevi um em Python anos atrás que recebe n e devolve o número de diagonais, o número de triângulos formados pelas diagonais a partir de um único vértice, e ainda conta quantos pontos de interseção internos existem. Para n=20, o número de interseções internas é 10626, mas isso só vale para o caso geral onde nenhuma três diagonais se cruzam num ponto só, o que não acontece sempre em polígonos regulares. Uma coisa que pegadinha bastante gente: em polígonos regulares, várias diagonais podem se intersectar no mesmo ponto interno, especialmente em polígonos com número par de lados. Isso significa que a fórmula padrão n(n-3)/2 conta corretamente o número de diagonais, mas se você quiser contar interseções internas, precisa ajustar porque o número real de pontos de interseção é menor do que o que a fórmula geral indica.
O outro erro comum é confundir diagonais com lados. Um icoságono tem 20 lados e 170 diagonais. São coisas diferentes. Se alguém te perguntar e você responder 190, errou porque provavelmente somou n em vez de subtrair 3 no numerador. Se quiser confirmar sozinho, basta entrar num motor de busca e pesquisar quantas diagonais tem um icoságono. Aparece a resposta em várias páginas de geometria. A conta é sempre a mesma, não importa o contexto.
