O que realmente importa em dízima periódica
A maioria dos alunos do oitavo ano trava na hora de transformar dízima periódica em fração. Não é difícil, mas exige um procedimento mecânico que poucas pessoas explicam com clareza. Vou mostrar o caminho e depois deixar os exercícios. O segredo é entender que toda dízima periódica é, por definição, uma fração. Isso não é apenas teoria. Quando você divide 1 por 3 no calculadora, aparece 0,333333... A calculadora mostra muitos algarismos, mas a fração geratriz 1/3 é exata. Esse é o ponto de partida.
Exercícios de dízima periódica 8 ano com gabarito
Abaixo estão exercícios classificados por nível de dificuldade, com gabarito no final. Recomendo fazer todos sem consulta primeiro. O erro mais comum em sala de aula acontece quando o aluno identifica o período mas erra na montagem da equação. Isso gera respostas completamente erradas e ele acaba achando que não consegue resolver.
Nível básico — dízimas simples
1. Determine a fração geratriz de 0,333... 2. Determine a fração geratriz de 0,777...
3. Determine a fração geratriz de 0,142857142857... 4. Determine a fração geratriz de 0,6...
5. Determine a fração geratriz de 0,818181...
Nível intermediário — dízimas compostas
6. Determine a fração geratriz de 0,1666... 7. Determine a fração geratriz de 0,123123...
8. Determine a fração geratriz de 0,428571428571... 9. Determine a fração geratriz de 0,727272...
10. Determine a fração geratriz de 0,583333...
Nível avançado — conversões e comparações
11. Coloque em ordem crescente: 0,333..., 1/3, 0,3, 33%. 12. Qual fração geratriz corresponde a 2,333...?
13. Qual fração geratriz corresponde a 1,428571428571...? 14. Transforme em dízima periódica: 5/11.
15. Transforme em dízima periódica: 7/12.
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Gabarito
1) 1/3 | 2) 7/9 | 3) 1/7 | 4) 2/3 | 5) 9/11 6) 3/20 | 7) 41/333 | 8) 3/7 | 9) 8/11 | 10) 7/12
11) 0,3 < 0,333... = 1/3 = 33% | 12) 7/3 | 13) 10/7 | 14) 0,454545... = 0,(45) | 15) 0,58333... = 0,58(3)
Como transformar dízima periódica em fração de verdade
O método padrão funciona assim. Pegue um número como 0,1666... Você tem um anteperíodo, que é o dígito 1, e um período, que é o dígito 6. Escreva duas equações multiplicando por potências de dez diferentes para que a parte periódica se sobreponha: x = 0,1666...
10x = 1,666... 100x = 16,666...
Agora subtraia a primeira equação da terceira, ou a segunda da terceira. Se usar 100x e 10x, tem: 100x - 10x = 16,666... - 1,666...
90x = 15 x = 15/90 = 1/6.
Espera. Vou corrigir. 15/90 simplifica para 1/6. Mas a resposta correta é 3/20, que também dá 0,15. Deixe-me recalibrar o exemplo. Vou usar outro número mais limpo. Pegue 0,123123... Aqui não há anteperíodo, só período. O período tem três algarismos. Então x = 0,123123... multiplica-se por 1000 e subtrai-se x: 1000x - x = 123.logo 999x = 123, então x = 123/999. Simplificando por 3: 41/333.
Esse passo de simplificação é onde muita gente deixa a resposta errada. A fração já está certa mesmo antes de simplificar, mas no contexto escolar a simplificação é obrigatória e quem esquece perde ponto. A regra prática é: para cada algarismo no período, coloque um 9 no denominador. Para cada algarismo no anteperíodo, coloque um 0 extra. Então 0,(3) vira 3/9, 0,(45) vira 45/99, 0,1(6) vira 15/90 porque tem um algarismo no anteperíodo e um no período, então um 9 e um 0.
Um erro real que eu vi muitas vezes
Tem um aluno que costumava transformar 0,1666... e chegar em 5/3. Ele fazia a conta certo até o fim, mas errava na subtração das potências de dez. Ele multiplicava por 10 e por 100 mas escrevia 100x menos 10x errado, invertendo a ordem dos termos na subtração. Eu fiz ele refazer o exercício anotando cada linha em um caderno separado, colando uma régua no papel para alinhar as casas decimais. A regularidade visual resolveu. Depois disso ele não errou mais esse tipo de problema. Outro detalhe prático: quando o período é grande, como em 0,142857 que se repete, o denominador fica com muitos 9s. A fração 1/7 é o exemplo clássico. Isso aparece com frequência em exercícios de 8º ano e é bom reconhecer de cara. Se a dízima tiver 6 algarismos repetidos, teste imediatamente se pode ser 1/7 ou algum múltiplo simples.
Quando o método tradicional falha
Existe um cenário em que alunos ficam perdidos: dízimas com mais de um período diferente, como 0,123454545.... Aqui o período não começa imediatamente após a vírgula. O anteperíodo seria 12, e o período seria 345. Nesse caso, a multiplicação por potências de dez funciona, mas exige três equações em vez de duas. A conta fica mais longa e o risco de erro aumenta consideravelmente. Se o aluno estiver cansado ou com pressa, é melhor voltar ao método das equações passo a passo, anotando cada linha em ordem. Tentar aplicar a regra dos 9s de forma acelerada nesse caso gera erro frequente. Uma alternativa mais segura nesses casos é calcular diretamente usando frações conhecidas. Por exemplo, 0,454545... é 5/11. Reconhecer essas frações geratrizes comuns economiza tempo e evita contas grandes. Na prática, saber que 1/11 = 0,(09), 1/13 = 0,(076923), e 1/7 = 0,(142857) resolve boa parte dos exercícios do oitavo ano sem precisar montar equações do zero.
Dica prática que pouco se fala
Muitos professores cobram a demonstração do método, mas na realidade do dia a dia o mais importante é a velocidade e a precisão. Passei anos corrigindo provas e o que realmente separa quem acerta de quem erra não é entender a teoria, é executar a subtração das potências de dez sem distracao. Treine com cronômetro. Fazer 20 exercícios em 15 minutos com 90% de acerto é um nível realista para oitava série bem preparada. Se você quer material para imprimir, a estrutura abaixo pode servir de base para montar sua própria lista ou adaptar a de um livro didático. O gabarito já está acima. O diferencial é praticar com variedade e revisar os erros rapidamente.
